Развёрнутый конспект урока «открытия» нового знания по алгебре и началам анализа «Чтение свойств функции по графику её производной». 11 класс.

Тема урока: «Чтение свойств функции по графику её производной» (2 урока).

Данный урок,  урок изучения нового материала, наиболее соответствует новым целям и результатам, сформулированным в государственных образовательных стандартах нового поколения. В разработке реализован деятельностный подход к построению образовательного процесса, направленного на достижения следующих результатов: личностных, предметных,  метапредметных.

На уроке в качестве основных методов организации учебной деятельности используется коллективный диалог, побуждающий диалог, рефлексия. Особое внимание уделяется  мотивации познавательной деятельности учащихся, т.к. основными факторами, побуждающими ученика  к мыслительной деятельности, являются его самореализация и персонализация.  На уроке  предоставляется  возможность каждому ученику проявить свои знания, умения в практической деятельности и получить за это одобрение, как со стороны учителя, так и со стороны своих товарищей.

Учитель во время урока оказывает поддержку любому проявлению творчества, самостоятельности, толерантности, создавая этим ситуацию успеха, и поддерживал благоприятный психологически комфортный микроклимат.

Урок был проведён в 11 классе.

Тип урока: урок «открытия» нового знания.

Оборудование: компьютер и мультимедийный проектор; интерактивная доска.

Цель урока: организация продуктивной деятельности школьников, направленной на достижение ими следующих результатов.

  • Ø Личностных:

1)     умение ставить перед собой цель, планировать деятельность;

2)     обретение веры в себя, в свои потенциальные возможности;

3)     реализация конкретных индивидуальных способностей;

4)     стимулирование способности иметь собственное мнение;

5)     умение точно и грамотно излагать свои мысли;

6)     умение легко выполнять математические операции, контролировать процесс и результат учебной математической деятельности;

7)     освоение приёмов самостоятельного открытия  знаний и выполнения заданий, раскрывающих все основные варианты соответствующей деятельности;

8)     приобретение опыта  по принятию ответственности за свои решения.

  • Метапредметных:
  • - познавательная деятельность:

-  изложение информации, интерпретируя факты, разъясняя значение и смысл теории;

- использование  приемов умственной деятельности (анализ, классификация, обобщение и подведение под понятие);

- исследование несложных практических ситуаций,  выдвижение предположений, понимание необходимости их проверки на практике;

- умение перефразировать мысль или условие задачи (объяснить «иными» словами);

- использование различных методов (опыт, наблюдение);

- комбинирование известных алгоритмов деятельности в ситуациях, не предполагающих стандартного применения одного из них;

- осуществление переноса знаний в изменённую ситуацию, умение видеть задачу в контексте проблемной ситуации;

  • - информационно – коммуникативная:

-  умение вступать в речевое общение, участвовать в диалоге, признавать право на иное мнение;

- отражение в устной и письменной форме результатов своей деятельности;

- умение точно, грамотно излагать свои мысли, выстраивать аргументацию;

- проведение информационно – смыслового анализа задания (текста);

- умение предвидеть возможные последствия своих действий;

- владение умениями совместной деятельности.

  • рефлексивная:

-  умение самостоятельно определять цель учебной деятельности;

- фиксация затруднения, поиск причин возникших трудностей и их устранение;

- овладение навыками самоконтроля и оценки своей деятельности;

- овладение умением предвидеть возможные последствия своих действий;

- совершенствование умения совместной деятельности: согласование и координация деятельности с другими ее участниками.

  • Ø Предметных:
  • осмысление и правильное употребление в устной и письменной речи терминов: производная, монотонность функции, экстремумы функции;
  • знание  и применение правил дифференцирования в простых случаях (уровень обязательной подготовки);
  • развитие графической культуры: чтение  по эскизу графика функции особенностей поведения функции (промежутки монотонности, точки экстремума);
  • осмысление и осознанное использование математических средств наглядности (эскизы графиков и графики) для иллюстрации и аргументации собственных рассуждений и действий при решении задач;
  • овладение опытом чтения графика: умение описывать поведение функции по графику её производной в простых случаях, опираясь на использование уже имеющихся знаний; умение ориентироваться в разнообразии заданий,  связанных с графиками функций;
  • приобретение способности самостоятельно «открывать» новое математическое знание: умение анализировать материал, использовать имеющиеся знания и опыт; выявлять аналогии, сопоставлять график производной и график функции; делать выводы;
  • умение формулировать учебную тему и учебные задачи, используя математическую терминологию.

 

Ход урока:

  1. Организационно - мотивационный  момент:

Приветствие. Добрый день, уважаемые воспитанники! Мне приятно  снова видеть вас на уроке, и думаю, что сегодняшнее занятие принесет нам радость общения друг с другом. Главное, чтобы вы, ребята, были  внимательными, активными, находчивыми и трудолюбивыми!

И пусть девизом урока станут слова великого русского писателя Л. Н. Толстого: «Знание только тогда знание, когда оно приобретено усилиями своей мысли, а не памятью».

II. Этап постановки личностных целей.

Приносить радость другим и пользу в жизни будет только тот, кто ставит перед собой цель и стремится её достичь. Ребята, а задумывался ли каждый из вас над тем,  с какой целью он сегодня пришёл на урок? (выслушиваются ответы учащихся).

Сегодня помогу вам сформулировать для себя цель. Пожалуйста, поставьте  перед собой одну-две цели, выбрав из списка на экране, зафиксируйте номер на полях  в тетради, и, давайте,  каждый из вас поработает на неё в течение всего урока:

1)     умение ставить перед собой цель, планировать деятельность;

2)     обретение веры в себя, в свои потенциальные возможности;

3)     реализация конкретных индивидуальных способностей;

4)     стимулирование способности иметь собственное мнение;

5)     умение точно и грамотно излагать свои мысли;

6)     умение легко выполнять математические операции, контролировать процесс и результат учебной математической деятельности;

7)     освоение приёмов самостоятельного открытия  знаний и выполнения заданий, раскрывающих все основные варианты соответствующей деятельности;

8)     приобретение опыта  по принятию ответственности за свои решения.

9)     приобретение умения ориентироваться в разнообразии заданий из  КИМ  ЕГЭ, связанных с графиками функций и их производных.

Учитель на экране отражает перечисленные компоненты цели и предлагает детям поставить личностную цель, зафиксировать ее номер на полях в тетради  и поработать на нее в течение всего урока.

- Сегодня на уроке Вы сами будете оценивать результаты собственной деятельности. За каждый правильный ответ, за продуктивный выход к доске на полях тетрадки ставьте 1балл, в конце урока посчитаете количество баллов и поставите сами себе отметку, оценив свою деятельность на уроке.

III. Актуализация субъектного опыта учащихся

- Внимание! Пришло время поработать! Уважаемые воспитанники, сегодня вам предоставляется возможность многое делать самостоятельно, в том числе, попытаться  сформулировать тему и поставить цель урока.

Обратите внимание на интерактивную доску.

Устная  работа:

Найдите значение  производной  функции у = f (x) в точке х0, если:

1)     f (х) = 5x4 + 7 и  х0 =1;    2)  f (х) = cosx + 11x и  х0 =0;  3) f (х) = ex + 2015x  и х0 =0

Ответы учащихся учитель последовательно  записывает на доске, отделяя точкой 20.11. 2015.

Внимательно посмотрите на запись в целом,  что получилось, на что похоже? (Верно, дата)

Откройте тетради и запишите число, классная работа.

- Обратите внимание, что выделенное место для темы урока свободно. Как вы думаете, что бы это могло значить? (Ответы учащихся: узнаем  и запишем тему урока  позже; должны сформулировать тему самостоятельно; выполнив какое-то задание, сможем, сформулировать тему).

- По вашему мнению, чем же мы сегодня будем заниматься на уроке? Что  нам предстоит сегодня сделать? На интерактивной доске в помощь учащимся  предлагаются глаголы:

- продолжать… (исследовать свойства функции с помощью производной)

- вспомнить…  (зависимость между функцией и её производной)

- повторить…   (основные термины: монотонность функции, экстремумы функции)

-  закрепить…    (умение читать графики)

- изучить… (что-то новое)

Задание №1(устно).


Посмотрите на слайд 1 и постарайтесь, используя математический язык и имеющиеся у вас знания, описать все, что сможете. Слайд 1

эскиз графика функции

 

х

(-∞;-1)

-1

(-1;0)

0

(0; 1)

1

(1;+∞)

f/ (х)

+

0

-

0

-

0

+

f(х)

 

4

 

2

 

0

 

 

 

max

 

 

 

min

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответы учащихся.

Какой вывод можно сделать?

Ответы учащихся:

- есть зависимость между функцией и ее производной;

- поведение функции зависит от ее производной;

- если значение производной на промежутке больше 0, то функция на этом промежутке возрастает, если меньше – убывает;

- в точках x=-1 и x=1, где значение производной функции равно 0, данная функция имеет точки экстремума).

-  в точке х=0, где значение производной функции тоже равно 0, данная функция не имеет экстремума; это точка перегиба (по УМК автора А.Г. Мордковича)

Задание №2 . Посмотрите  на слайд 2 и постарайтесь, используя имеющиеся знания, описать на математическом языке то, что вы увидели на рисунке, и заполнить пропуски в таблице (на столах у учащихся таблица, и она же изображена на доске).

Слайд 2

 

Таблица1

х

(-1; 0,5)

0,5

(0,5;3)

3

(3; 6)

6

(6; 10)

10

(10; 11)

11

(11; 12)

f/ (х)

 

 

 

 

+

 

 

0

 

 

-

f(х)

 

3,2

 

-2

 

3

 

 

 

-1,2

 

 

 

max

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учащиеся аргументируют свои действия по заполнению таблицы, самостоятельно обращаясь к математическим фактам.

Ответы учащихся:

- на интервалах (-1; 0,5),  (3; 6), (10; 11)  – функция возрастает, потому что большему значению х соответствует большее значение у,  при этом значения производной больше 0;

- на интервалах (0,5; 3),  (6; 10), (11;12) – функция убывает, потому что большему значению х соответствует меньшее значение у, при этом  значения производной меньше 0;

-  точки    0,5; 6;  11   - точки максимума функции, потому что… (если в точке х0 функция непрерывна и при переходе через х0 её производная меняет свой знак с «+» на «-», то х0 – точка максимума функции;

-  точки      3;  10 – точки минимума функции, потому что…(если в точке х0 функция непрерывна и при переходе через х0 её производная меняет свой знак «-» на «+», то х0 – точка минимума  функции;

- точки 0,5; 6;  11;   3;  10  -  точки экстремума функции и значение производной в этих точках равно нулю, (если функция имеет экстремум в точке х0,, то в этой точке, в данном случае, производная функции равна нулю).

- Молодцы, ребята!  Теперь попробуйте обобщить все, что вы смогли сделать, и высказать кратко одним-двумя предложениями.

Ответы учащихся:

- По поведению функции определяли знак ее производной, и, наоборот, по знаку производной – определяли поведение (или промежутки возрастания и убывания) функции, при этом пользовались графиком функции;

- заполняли таблицу, используя зависимость между знаком производной функции и поведением функции (формулируют зависимость, известную им);

- использовали имеющиеся знания для заполнения таблицы и т.п.

 

Задание №3

Рассмотрите новую ситуацию. Что Вы можете сказать об этих математических объектах?  Классифицируйте их по различным признакам, как можно большим числом способов.

1. у=x2+4           2.   у=3x5-5x3+х      3.  у= 2x3- 5x2 + 2х

4.   у = 6x2 - 10x + 2      5. у= 2x      6.  у=15x4 - 15x2 + 1.

7.  x2 – x- 2=0      8. x4 - x2 – 12=0      9. x3 - 9x = 0

Ответы учащихся: это уравнения; это функции; это уравнения, задающие функцию;  график первой и четвёртой  функции – парабола; график пятой – прямая, графики функций 2, 3, 6 можно построить с помощью производной; 5 - производная функции 1; 6 – 2;4 – 3; квадратное уравнение, биквадратное уравнение, уравнение третьей степени.

Классифицировать можно, например, так (ответы учащихся):

уравнения и функции;

- по показателю степени старшего члена многочлена на 5групп;

-по множеству значений на 2 группы: функции, имеющие множество значений – положительные числа, и функции, имеющие множество значений – все числа;

по расположению графиков функций – на 2 группы: проходят через начало координат и не проходят;

на 2 группы: функции и производные этих функций.

Молодцы, хорошо справились с заданием!

IV. Постановка темы и цели урока

Учитель предлагает ребятам вернуться к только что  выполненному заданию.

- Попробуйте сформулировать, что нового для себя вы узнали, выполняя это задание? (Ответ:  производная функции – это  тоже функция, а, значит, у неё имеется свой график).

Итак, учитель еще раз подчеркивает важный факт: производная функции – это тоже функция.

 

Учитель предлагает воспитанникам задание:

- Обобщить результаты своей деятельности и попытаться сформулировать тему урока.

Ответы учащихся: «Взаимосвязь функции и ее производной»; «Зависимость  между функцией и ее производной»; «Графики функции и ее производной» и т.п.).

Если дети затрудняются, то учитель действует так:

- Ребята, Вы уже знаете и умеете использовать зависимость между знаком производной и графиком функции. Предположите, а что вам предстоит «открыть» на этом уроке?

Предполагаемые ответы:

- зависимость между графиком производной функции и графиком самой функции;

- зависимость между графиками функции и её производной.

Учитель, обобщив предложения воспитанников,  делает уточнение темы урока: «Чтение свойств функции по графику её производной».

(Записывают тему урока: «Чтение свойств функции по графику её производной»,  дети – в тетради, а учитель – на доске).

-  Какие цели поставите перед собой? (Ответы: установить  зависимость поведения производной функции от свойств первоначальной  функции, и, наоборот;  по графику производной функции научиться читать (или определять)  свойства функции; научиться  выполнять задания  из банка ЕГЭ).

 

V. Этап «открытия» нового знания.

Учитель:

- Предлагаю выполнить несколько заданий, в которых каждому из вас можно будет проявить наблюдательность и показать умение использовать имеющиеся знания в новой ситуации.

Задание №4

а) Постройте на одной координатной плоскости графики функции (1) у=x2+4   и функции, являющейся ее производной (5)  у= 2x

Графики заранее построены и показываются на слайде, ученики сверяют правильность построения.

б) Сравните свойства этих двух функций на одних и тех же отрезках области определения.  Результаты наблюдения представьте в письменном виде  в виде таблицы. (на столах у учащихся таблица, и она же изображена на доске).

( D(y); E(y); промежутки знакопостоянства; промежутки монотонности; точки экстремума).

Свойства функции

у =x2+4

у / =2x

область определения D(y)

(-∞; +∞)

(-∞; +∞)

множество значений E(y)

[4;+∞)

(-∞; +∞)

промежутки знакопостоянства

y>0 на (-∞;+∞);

y>0 на (0; +∞ )

y<0 на (-∞;0)

промежутки монотонности

[0;+∞)-возрастает
(-∞; 0] - убывает


(-∞;+∞) - возрастает

точки экстремума и значения функции в этих точках

x=0 – точка минимума,
у(0) = 4

-

Один ученик работает на крыльях доски, а остальные - в тетрадках, затем осуществляют взаимопроверку с выставлением баллов на полях, сигнализируя карточками обратной связи, а работающий у доски, объясняет решение.

в) Посмотрите  на слайд  и  таблицу, постарайтесь, используя имеющиеся у Вас знания, сравнить поведение этих двух функций на одних и тех же отрезках области определения.

Ответы учащихся:

- на промежутке (-∞; 0] функция у =x2+4 убывает, а значения производной на этом интервале отрицательные, т.е. график производной функции лежит ниже оси Ох;

- на промежутке[0;+∞) - функция у =x2+4 возрастает, а значения производной на этом интервале положительные, т.е. график производной функции лежит выше оси Ох;

-  в точке х=0 функция у =x2+4 принимает наименьшее значение, а значение производной  в этой  точке равно 0 и производная меняет знак с «-» на «+»; точка х=0 – точка  экстремума функции – точка минимума).

Откройте свои учебники, ребята, проделайте следующую работу: сверьте сделанные вами   выводы с тем, что написано в учебнике на странице стр. 178-179 (Теорема 1 и Теорема 2), а  на стр.  185  прочитайте Теорему 5.

Давайте  ещё раз с помощью следующего слайда уточним цепочку взаимосвязи:

график производной функции  - свойства самой этой функции.

- Продолжите фразу, начатую мной:

-  Если график производной расположен ниже оси Ох (т.е. значения  производной  меньше нуля) на интервале, то…  (функция убывает на этом интервале).

- Если график производной расположен выше оси Ox (т.е значения производной больше нуля ) на интервале, то функция … (возрастает на этом интервале).

- Если  график производной пересекает ось Ох в точке х0, располагаясь сначала ниже, потом выше оси Ox, то х0 для  функции  является … (точкой минимума).

- Если  график производной пересекает ось Ох в точке х0, располагаясь сначала выше, потом ниже оси Ох, то х0 для  функции  является ... (точкой максимума).

Слайд

Смысл данного момента урока заключается не во взаимопроверке выполненных заданий (техническая сторона процесса), а в том, что смогли  увидеть дети (устное представление результатов наблюдения)  и как математически грамотно они смогли это записать (качественная сторона). Это пример организации на уроке свободной математической деятельности ребят, в которой формируется и проявляется уровень математической грамотности каждого учащегося.

V.  Первичное применение новых знаний на практике.

а) Задание  из КИМ  ЕГЭ

Используя приобретенные новые знания, по графику производной  прочитайте свойства функции:

 

 

VI. Домашнее задание (обязательная часть и вариативная)

  1. Обязательная часть:

1.1. Изучить теорию в учебнике §30 п.2, стр.182-185, выделить моменты, вызвавшие затруднения.

1.2. Выполнить письменно задание В8 из банка ЕГЭ.

1.3. Выполнить письменно задание из учебника № 30.3

2. Вариативная часть (по желанию)

2.1. Выполнить письменно задания из учебника:

№ 30. 4;  № 30.8.

VII. Подведение итогов урока. Рефлексия.

1. Достижение личностных результатов.

- Ребята, в начале урока вы поставили личную цель. Достигли её или нет? Кто хочет, поделитесь своими выводами вслух? Демонстрируется слайд с личностными целями.

2. Достижение предметных и метапредметных  результатов:

Вопросы к учащимся:

  1. Что нового узнали сегодня на уроке?
  2. Чему Вы научились?

В помощь детям учитель открывает слайды (содержание слайдов ниже)  с планируемыми результатами. Опираясь на них, дети отвечают на вопросы.

Содержание слайдов

Результаты:

  • Ø Предметные
  • осмысление и правильное употребление в устной и письменной речи терминов: производная, монотонность функции, экстремумы функции;
  • знание  и применение правил дифференцирования;
  • развитие графической культуры: чтение  по эскизу графика функции особенностей поведения функции (промежутки монотонности, точки экстремума);
  • осмысление и осознанное использование математических средств наглядности (эскизы графиков) для иллюстрации и аргументации собственных рассуждений и действий;
  • овладение опытом чтения графика: умение описывать поведение функции по графику производной в простых случаях, опираясь на использование уже имеющихся знаний; умение ориентироваться в разнообразии заданий,  связанных с графиками функций;
  • приобретение способности «открывать» новое математическое знание: умение анализировать материал, выявлять аналогии, сопоставлять график производной и график функции;
  • умение формулировать учебную тему и учебные задачи, используя математическую терминологию.

Познавательные:

- изложение информации, интерпретируя факты, разъясняя значение и смысл теории;

- использование  приемов умственной деятельности (анализ, классификация, обобщение и подведение под понятие);

- исследование несложных практических ситуаций,  выдвижение предположений, понимание необходимости их проверки на практике;

- умение перефразировать мысль или условие задачи (объяснить «иными» словами);

- использование различных методов (опыт, наблюдение);

- комбинирование известных алгоритмов деятельности в ситуациях, не предполагающих стандартного применения одного из них;

- осуществление переноса знаний в изменённую ситуацию, умение видеть задачу в контексте проблемной ситуации;

Информационно – коммуникативные:

-  умение вступать в речевое общение, участвовать в диалоге, признавать право на иное мнение;

- отражение в устной и письменной форме результатов своей деятельности;

- умение точно, грамотно излагать свои мысли, выстраивать аргументацию;

- проведение информационно – смыслового анализа задания (текста);

- владение умениями совместной деятельности.

Рефлексивные:

-  умение самостоятельно определять цель учебной деятельности;

- фиксация затруднения, поиск причин возникших трудностей и их устранение;

- овладение навыками самоконтроля и оценки своей деятельности;

-овладение умением предвидеть возможные последствия своих действий;

- совершенствование умения совместной деятельности: согласование и координация деятельности с другими ее участниками.

Вопросы к учащимся (продолжение):

3. Что вызвало затруднение и почему?

4. Что Вам понравилось на уроке?

5. Подсчитайте количество баллов и оцените свою работу.

Ребята, сегодня первый урок изучения новой темы, поэтому главное, что вы поняли смысл нового понятия  и участвовали в  «открытии» нового знания. Поэтому в журнал я выставлю только отличные и хорошие отметки.

На следующем уроке мы продолжим работу, познакомимся с другими новыми понятиями.

Ребята, вы все хорошо поработали!  Вы сегодня были наблюдательны и самостоятельны!

Спасибо за урок!

 

 

 

 

Список использованной литературы

  1. Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы.  Часть 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень)/ [ А.Г. Мордкович и др.]- М. Мнемозина, 2014.
  2. Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы.  Часть 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень)/ [ А.Г. Мордкович и др.]- М. Мнемозина, 2014.
  3. М.И. Шабунин, М.В. Ткачёва. Алгебра и начала математического анализа, дидактические материалы для  10-11 классов.  – М. Мнемозина, 2005.

 

Интернет-ресурсы

 

  1. uchportal.r.ru
  2. infourok.ru учительский сайт

Боковое меню

Какой ноутбук выбрать. Какой фирмы выбрать ноутбук лучше. Какой выбрать ноутбук для работы. Скачать драйвера для видеокарты. Скачать драйвера для видеокарты nvidia бесплатно. Драйвера видеокарты для windows 7. Как начать учить Java. Какие книги java читать. Все о программирование на Java. Скачать игры для android. Лучшие игры для android скачать. Бесплатные игры для планшетов android. Интересные факты о человеке. Где найти интересные факты обо всем. Интересные факты о русских. Где найти гайд по магу wow. Самые лучшие гайды о магах wow. Аркан маг гайд для World of Warcraft. Как начать изучать язык Python. Какие книги python лучше читать. Все о программировании на python. Скачать компоненты Joomla. Самые лучшие компоненты joomla скачать. Бесплатно скачивание компонентов Joomla всех версии.
Сведения об образовательной организации
Основные сведения
Структура и органы управления образовательной организации
Документы
Образование
Образовательные стандарты
Руководство.Педагогический (научно-педагогический) состав
Материально-техническое обеспечение и оснащенность образовательного процесса
Степендии и иные виды материальной поддержки.
Платные образовательные услуги
Финансово-хозяйственная деятельность
Вакантные места для приема (перевода)
Противодействие корупции
Путешествие по школе
Школьная жизнь
Публичный доклад
Воспитательная работа
Научно-методическая работа
Учебные программы и УМК
Научно- методический совет
ОбИП
Образовательный процесс
Безопасность и административно-хозяйственная работа
Психологическая работа
Новости образования Ростовской области
Абитуриенту
Условия поступления
Рекомендуемые ВУЗы
История Неклиновской лётной школы

Контактная информация

Адрес: 346840, Россия, Ростовская область,c.Николаевка,Юго-восточная территория, Неклиновская ОШИ с ПЛП

Тел: 8 (8634) 60-39-98.

E-mail: Goushi_neklin@rostobr.ru

Web-сайт: noshisplp.ru

Сейчас на сайте

Сейчас 99 гостей онлайн
Яндекс.Метрика